一道知乎看来的奥数题

Roy Li 虚拟机 2017-02-02


图见正文,题目如下:


三角形 ABC,角平分线 AD 分角 A 交 BC 于 D,O1,O2 和 O 分别是三角形 ABD,三角形 ACD 和三角形 ABC 的外心,求证 OO1 等于 OO2


知乎上给的答案添加了N条辅助线于是成了图中的样子,解法也比较复杂,详细的可以去看知乎帖子装逼成功是怎样一种体验? 里面熊小陶的回答。


然而这道题目在我看来,解法可以非常简洁,思路也可以更为清晰,所以值得今天在这里和大家分享一下。


首先这道题实际是要证明OO1和OO2 等腰,那么我们看一下收集到的信息中间最重要的是什么呢? 应该是角平分线, 因为如果AD不等分顶角的话,O1和O2的位置会变化,OO1O2三角形的两个底角也会变化。所以这道题一定可以归约成 角OO1O2和一个顶角的关系,以及角OO2O1和另一个顶角的关系,然后由于两个顶角对等,于是OO1O2是等腰的。


那么由此来倒推证明方法的时候,复杂的辅助线和某某四点共圆之类的手法都不需要了,只需要这么做:


由于三角形ABD和ACD的外圆共弦AD,所以O1O2和AD垂直。同理OO1和AB,OO2和AC也垂直。


于是角BAD和角OO1O2是一样的(O1O2和AB形成的夹角里的两个相等对顶角分别和BAD以及OO1O2互余)。


同理角OO2O1和角CAD也是一样的。


所以三角形OO1O2是等腰的。


看,是不是很简单? 这是利用了已知答案正确的情况下寻找关联线索快速获得解题方法的小技巧。


在实际运用中,通过已知结果或假设的结果来倒推线索和解的关联性,往往可以取得不错的效果,并大大地降低推理的难度。

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更新 2月4日 0:07