专访数学家张寿武:数学苍穹闪烁中国新星

2017-12-05 王丹红易蓉蓉 知识分子 知识分子

编者按

      本文是《知识分子》专栏作者王丹红数年前与《科学时报》同事易蓉蓉合作撰写的一篇专访,发表于2010年12月。当年10月,29岁的哈佛大学讲师张伟获得SASTRA拉马努金奖。2008年7月,张伟在北京大学的同班同学、26岁的袁新意在博士毕业时获美国克莱数学研究所克莱研究奖。此前任职哥伦比亚大学数学系教授、现任普林斯顿大学讲席教授的著名数学家张寿武在访谈中介绍了一代数学新星的工作。如今来看,他当年的评价已经变成现实——“他们可以对数学作出划时代的贡献。他们合在一起,应该是中国数学的未来,他们肯定会做得很好。”


撰文|王丹红 易蓉蓉


  


“在非常年轻的29岁,张伟博士已经在数学的广泛领域产生了意义深远的影响。”


——2010年SASTRA拉马努金奖委员会主席

K·阿拉底

 

今年10月,SASTRA拉马努金奖委员会宣布,将2010年度SASTRA拉马努金奖授予29岁的中国数学家、哈佛大学数学系讲师张伟。评奖委员会主席、美国佛罗里达大学数学教授K·阿拉底(Krishnaswami Alladi)在颁奖词中说:“通过自己的努力和与他人的合作,张伟博士在数论、自守形式、L函数、迹公式、表示论和代数几何等数学的广泛领域,作出了影响深远的贡献……因为他早期的奠基性工作和最近的两项工作,张伟博士已经成为他所在领域的国际领袖。”

 

张伟


为纪念印度的天才数学家斯力瓦萨·拉马努金(Srinivasa Aiyangar Ramanujan),2005年,位于拉马努金故乡贡伯戈讷姆市的Shanmugha文理工研究院(SASTRA)创立了SASTRA拉马努金奖。该奖每年颁发一次,授予在拉马努金研究领域作出杰出贡献的年轻数学家。获奖者的年龄限制在32岁以下,因为拉马努金是在他32岁的短暂生命中作出了辉煌的数学成就。颁奖礼将于12月22日——拉马努金的生日当天,在SASTRA大学举行的数论和自守形式国际会议上举行,张伟将获得1万美元的奖金。

 

美国纽约哥伦比亚大学数学系教授张寿武是张伟的博士生导师,他说:“其实,张伟是目前在国际数学界非常有影响的一批年轻的中国数学家之一,这批人我知道的就有10人左右,他们非常聪明,而且是同一代人,其中五六个是北京大学数学系2000届的学生,张伟的同班同学,包括袁新意、恽之玮、朱歆文等,另外几位同一届清华大学的学生,他们每个人的水平都与我们相差无几!他们是中国数学的未来,到他们的时代,应该是中国数学最辉煌的时候。”

 

张寿武,现任普林斯顿大学讲席教授


通过多次电话采访和电子邮件采访,张寿武向我们讲述了张伟和袁新意等年轻数学家的故事,他说:“我只是想告诉大家,我们有这么好的年轻数学家,他们做出这么好的工作,他们是中国的希望。”

 

第二年  完成博士论文

 

“我们重点介绍部分他所做的开山辟路的工作……2005年,在参加马里兰大学举办的一个美国国家基金会的研讨会上,张伟第一次听说库达拉猜想,他开始做这个问题的研究。在仅仅1年的时间里,他不仅明白了这个猜想的意义,而且还找到了独创性的证明方法。之后,他在这个领域迅速崭露头角。”


——2010年SASTRA拉马努金奖委员会主席

K·阿拉底

 

张伟1981年7月出生于四川省达县的一个农村家庭,在成都市第七中学毕业后,被保送进入北京大学数学科学学院。他这一届的同学群星灿烂:包括2000年度的国际奥林匹克数学冠军恽之玮、袁新意、吴忠涛和刘志鹏,以及2000年中国奥林匹克数学竞赛冠军朱歆文等。

 

2004年,经北京大学数学科学学院两位教授推荐,张寿武录取张伟作为他的博士研究生,“他的同班同学袁新意提前一年毕业,在2003年就来我这里了,袁新意做得很好,这也是我录取张伟的原因之一”。

 

张伟给张寿武的第一印象很有趣:“他和袁新意的性格正好相反。袁新意是一个很沉稳的人,一般说来不会轻易对新问题下结论,他要先找很多反例,当找不到反例时,他就把它做出来了;张伟的性格刚好相反,你跟他说什么他都很有兴趣,而且想法很多,给人天马行空的感觉,不仅对数学的想法多,而且对文学、历史、书法都很有见解。”

 

刚开始带张伟时,张寿武担心他思想太活跃、不能专心做学问,时常提醒他说:“不能到我办公室胡说八道,要好好做学问,这是第1年。”

 

到哥伦比亚大学几个月后,张伟顺利通过博士资格考试,他找张寿武要题目做。张寿武的观点是:最好的学生自己找题目自己做;一般的学生做老师给的题目;最差的学生可能都看不懂老师给的题目。于是,他对张伟说:“你自个儿先找题目,找不到题目我再给你。”

 

张伟找了半天也没找到像样的题目。不久后,2005年秋天,张寿武开车带着袁新意和张伟从纽约到马里兰州,参加以马里兰大学举办的美国国家基金会一个研讨会。在这次会上,张寿武讲解了库达拉猜想(Kudla Conjecture),回到哥伦比亚之后,他突然想到,能不能尝试库达拉猜想中模性(Modularity)的问题,因此就对张伟说:“你就做做这个问题吧!”

 

“我也没指望他能将模性做出来,因为这个学生找你麻烦,你给个题目让他忙着,当时的想法就是让他忙着。所以,一开始,我就让他做最简单的例子,然后再往复杂去做。”

 

张伟忙了两三个月,大约在2005年底,已经回到中国的他突然给张寿武来信说:他知道怎么做这个东西了。张寿武说:“好,你赶快回来吧。然而,回来之后,我才发现他不是按我的思路去做的,也就是说不是先做简单的再做复杂的,他一下子就全部做了,这让我很惊讶!”

 

在博士研究生的第二年,张伟就库达拉猜想问题写出了论文。

 

K·阿拉底这样讲述张伟:“我们重点介绍一些他所做的开山辟路的工作……1997年,史蒂文·库达拉在志村簇(Shimura varieties)的基础上定义了一系列的子簇,并推测它们的母函数是模性,博切尔兹(Richard Borcherds)获得(1998年)菲尔茨奖的一个重要工作是证明了余维数1情形下的库达拉猜想,在导师、哥伦比亚大学教授张寿武的指导下,张伟在他的博士论文中有条件地推广了博切尔兹的结果,并因为这个过程,基本上证明了库达拉猜想。”

 

不仅如此,张伟博士论文也促成了他与袁新意、张寿武的一系列合作。

 

合作非常愉快

 

“张伟在博士研究生的第二年完成了他的博士论文,论文中,他同时也推广了希策布鲁赫—乍基亚(Hirzebruch-Zagier)和格罗斯—科恩—乍基亚(Gross-Kohnen-Zagier)早期的主要工作。”


——2010年SASTRA拉马努金奖委员会主席

K·阿拉底

 

张伟做完库达拉猜想的论文后,张寿武对他说:“这可以当你的博士论文了,如果你现在想毕业,现在就可以毕业;不想毕业嘛,咱们再在一起做东西。”张伟决定要跟张寿武在一起再做一段时间。

 

在张伟写这篇论文之前,正在博士三年级的袁新意已写好了他的博士论文,但他也不想走。张寿武就对两人说:“做完博士论文,我与你们的师生关系就结束了,你们不走,咱们就做个朋友,一起做做学问。”他将自己的两个题目,格罗斯—乍基亚公式(Gross- Zagier)和三乘法L—函数(Trip product L-function)公式拿出来。

 

袁新意


张寿武从1997年开始做格罗斯-乍基亚公式,2001年,他完成了这个公式一个重要的工作,他一直在琢磨这个神秘的公式:“我能证明它是对的,但我并不明白在更深层次上,它为什么是对的。我一直在想,怎样把深藏在这个公式的背后的秘密挖出来。”2005年,他带着张伟和袁新意重新探索这个公式。

 

“正因为张伟的毕业论文对了,我们合作的这些工作才成为可能;假如他的东西不对,我们继续做下去是没有意思的。我从1997年开始做这个公式,但有些最关键的东西我没有做下来,所以,我为什么要重视模性,这也是我为什么让张伟来做这个东西的原因,这对我们以后的工作是至关重要的一步。”

 

模性是数学上一个满足一些泛函方程与增长条件的解析函数。张寿武说:“模性非常重要。安德鲁·怀尔斯在证明费马大定理时,他最重要的工作就是模性,他证明了一个级数满足一系列对称性,这一对称性证完后,他就证明了费马大定理。在我们的工作里,也是一个级数,如果这个级数对称了,就能做一般的格罗斯-乍基亚公式,我前面的一些工作都是假设了一些条件,我要是把这些条去掉,就必须要有新的办法,新办法最重要的一步就是母函数的模性。”

 

三人的合作的第一项,是将张伟在博士论文中的工作推广到全实域,张寿武说:“推广到全实域后,下面才能用,基本出发点是张伟的论文。”他们的文章发表在2009年出版的荷兰期刊《数学文献》(Compositio)上。

 

三人合作最重要的成果是关于志村簇上复乘点的高度。他们建立了瓦尔斯普尔热(Waldspurger)公式在算术代数几何下的一个模拟,瓦尔斯普尔热公式是给出积分周期和L函数特殊值之间的关系的一个重要公式。这篇论文远远走出了现有的格罗斯—乍基亚公式,论文太厚了,最后决定变成一本书,因此,这篇论文将以书的形式出版在《普林斯顿数学研究年刊》上。

 

他们的合作非常愉快。张寿武说:“袁新意与张伟各有长处,袁新意是奥数冠军队成员,他的基本功没人可比,如果他说一个结论是对的,就肯定是对的;张伟思想太活跃,有很多想法。有些是对的,有些不完全对,但很有发展的价值。两个人的性格完全不一样,与他们在一起真是非常愉快。这对我来说恐怕也是千载难逢的机会:哪有这么好的年轻的学生做好论文后还不想走,在这里待下来?!”

 

师承相传 因缘际会

 

“因为这两篇预印本论文和他早期的种子性工作,张伟博士已经成为他所在领域的世界领袖。”


——2010年SASTRA拉马努金奖委员会主席

K·阿拉底

 

如果说早期的几篇论文中都有张寿武的指导和合作,张伟在其中显示了极高超的技术能力的话,那么,他最近在算术相对迹公式方面的工作则证明他有独立处理重要大问题的能力。这些工作包含在他两篇尚未正式发表的预印本中,一个是相对迹公式和格罗斯—普拉萨德猜想(Gross Prasad conjecture),一个是算术基本引理。

 

谈到基本引理的重要性,张寿武解释说,因为证明了朗兰兹纲领自守形式中的“基本引理”,38岁的越南数学家吴宝珠获得了2010年的菲尔茨奖。吴宝珠证明的是自守形式中的经典迹公式的基本引理;自守形式中的相对迹公式的基本引理,则是由张伟在北京大学的同班同学、美国麻省理工学院的恽之玮证明的。

 

经典迹公式下的基本引理,很多大数学家都作出了很大的贡献,到吴宝珠的时候,他集大成,把这些方法合在一起,第一个证明了基本引理。“张伟、袁新意和恽之玮是好朋友,他让恽之玮去证明相对迹公式下的基本引理,恽之玮是专门做基本引理的,他是用吴宝珠的方法来做的”。

 

张伟是怎么知道要做相对迹公式的基本引理呢?是张寿武建议的,因为自守形式中相对迹公式下的基本引理是哥伦比亚大学教授贾戈尔(Jacquet)和俄亥俄大学的教授阮丽斯(Rallis)提出来的。

 

贾戈尔是现代自守形式专家。1986年,当张寿武还是哥伦比亚大学数学系的博士生时,贾戈尔让他做一些相对迹公式,但他一点兴趣都没有,“因为它关注的是自守形式,我对自守形式没有什么兴趣,当时我也不知道它可以用来推广格罗斯-乍基亚公式。我跟贾戈尔学了相当长的时间,对他的东西还是很清楚的”。

 

因缘际会,20多年后,张寿武又让他的学生来做自守形式下相对迹公式的基本引理。在2008年晨兴的一个暑期讨论班上,田野作了第一个关于相对迹公式的报告。“所以说,张伟的工作是继承和发扬了哥大在自守形式方面的一个传统。我的贡献是告诉他们往哪个地方走”。

 

张伟非常聪明,他以光一样的速度阅读了所有的相关论文,以光一样的速度将问题弄清楚了,并证明了其中两个基本引理。然而,与张寿武一样,他真正想做的也不是自守形式下的相对迹公式下的基本引理,他的兴趣在算术相对迹公式下的基本引理,他和袁新意将自守形式下相对迹公式的基本引理问题告诉了同学恽之玮。与此同时,他成功地将贾戈尔—阮丽斯的一些技术移植到算术相交理论中,并在志村簇上算术相交理论的知名猜想中取得决定性进展。

 

在他的一篇预印本中,张伟成功地描述了算术基本引理。

 

张寿武说:“这个引理比吴宝珠和恽之玮的引理更难,在他之前,人们并不知道什么是算术基本引理。所以说,张伟的贡献是把这个问题提出来了,他在基本引理前加了‘算术’两个字,这就是他不一样的地方。换句话说,将来几十年大家都要做张伟的问题。提问题的人的水平比做问题的人更有远见。如果说以前是我提的问题,那么后面的问题则是他自己提出来的。”

 

K·阿拉底在2010年SASTRA拉马努金奖的文章中评价:“因为这两篇预印本论文和他早期的基础性工作,张伟博士已经成为他所在领域的世界领袖。”

 

张寿武认为,自守形式和算术相交理论,属于数学里的两个领域,一直到张伟把它做完,才将这两个领域联系在一起,其实,他没有做那么多东西,他只做好了一个东西,但这个东西处于所有这些领域的交叉中心,这就是为什么他的贡献被认为不仅在于数论,而且在于代数几何和表示论等多个领域。

 

他们可以为中国数学作出划时代的贡献

 

“厉害就厉害在他们不是一个人,而是一批人,他们有什么东西不懂,就马上打电话给同学,同学也是另一行的高手,马上就知道是怎么回事了,他们之间不是相互竞争者,而是合作者。”


——哥伦比亚大学数学系教授

张寿武

 

“袁新意毕业时也做得很出色,他在毕业那年就获得了克莱数学研究所的克莱研究奖,也就是说,克莱研究所为他提供博士后薪水和各种津贴,他自己找喜欢的地方去做数学。他第一年在哈佛大学,第二年在普林斯顿大学做,现在在密歇根大学做,过几天就要回到哥伦比亚大学了。他是第一个获得克莱研究奖的中国人。张伟获拉马努金奖可能是因为他的领域与拉马努金的领域更接近一些,这也是拉马努金奖的要求。”

 

“但他们这一批人绝对不止他们两个人,他们是一群人,他们的同班同学在数学上做得非常好的至少还有恽之玮和朱歆文,加上那一届清华大学数学系的几个,我知道的这批人已有10个左右,他们都才二十八九岁,非常年轻,可是已经做出很了不起的工作。张伟和袁新意获奖,代表他们这一代人确实比我们做得好。”

 

面对这一批横空出世的数学新星,张寿武说,他们这批人的成功真是非常奇怪,一届里突然出现了这么多人,以前没有出现过这种现象,之后也没有出现过,“他们说,北大数学科学学院杨磊和高峡两位教授,对他们这批学生的影响很大。他们的激情都是受他们的鼓动的,由此,这批学生才做得非常好。”

 

“他们还年轻,人生的路才刚刚开始,还没有到大数学家的份上,但他们有可能成为大数学家。”张寿武对这一批学生寄予厚望,“我想,他们的实力和潜力已经显示出来了,他们有资本在美国的长春藤大学获得教授职位,但拿菲尔茨奖就难说了。我对他们的期望超过了对陶哲轩的期望,陶哲轩拿了菲尔茨奖,现在是加州大学洛杉矶分校正教授。毫无疑问,陶哲轩非常聪明,他做了很多问题。我个人认为,张伟他们做的问题对未来的影响会更深刻一些。何况他们有一群人在共同努力。张伟、袁新意、恽之玮、朱歆文等,他们可能不像陶哲轩那么聪明,不是天才,但他们可以对数学作出划时代的贡献。他们合在一起,应该是中国数学的未来,他们肯定会做得很好。”

 

张寿武目前带有7个博士生,其中5位学生来自中国。

 

在哥伦比亚大学,张寿武每年给研究生们上同一门课——“算术代数几何”,讲一些他正在思考或他认为重要的问题,“现在,我在给研究生们开的一门课程是研究张伟他们的工作”。

 

张寿武希望大家能保护这些学生:“他们这代人都很有希望,本来就绝顶聪明,如果他们到工业界、金融界,放到哪里都是闪光的金子,但他们都很安心地做。这批学生在思想方面非常活跃、非常成熟,他们没有经过‘文革’,没有负担,政治上非常单纯,我觉得大家尽一切可能保护,帮助他们,不要干扰他们。”

   

 

张寿武简介

1983年毕业于中由大学数学系后,师从中国科学院数学研究所王元院士,1986年获硕士学位后,赴美国哥伦比亚大学攻读博士学位,1991年获博士学位,1996年任哥伦比亚大学数学系教授,同年证明世界性难题波同年证明世界性难题波戈莫洛夫猜想;1997年在世界上率先于全实域上推广了格罗斯--乍基亚公式。1998年应邀在德国柏林举行的世界数学家大会上作45分钟报告,同年获旨在奖励全球杰出华人数学家的首届晨兴数学金奖。现任普林斯顿大学讲席教授。

 

拉马努金简介

斯力瓦萨*拉马努金(Srinivasa Aiyangar Ramanujan),印度天才数学家,1887年12月22日出生于印度南部一个小村庄,家境贫寒,信奉婆罗门教,1920年4月26日因病在印度贡伯戈讷姆去世,终年32岁。

 

拉马努金没有受过正规高等教育,沉迷于数论,常以直觉(或跳步)导出公式,不喜欢作证明,但事后往往证明他是对的。1900年,13岁的他独立发现了三个函数可以表示成无穷级数,而这是大数学家欧拉在1750年左右发现的;他身后留下的那些没有证明的公式,后来引发了大量的研究,1997年,《拉马努金期刊》(Ramanujan Journal)创刊,用以发表有关"受到拉马努金影响的数学领域"的研究论文。

 

1913年,26岁的拉马努金致信三位给剑桥学术界人士:贝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy),信中包含一长串复杂的定理。只有三一学院院的哈代注意到他的天才。哈代说:"很多定理完全打败了我,我从没见过任何象这样的东西。"哈代和同事利特尔伍德评论道:"没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中。"

 

在哈代的反复邀请下,1914年,27岁的拉马努金打破宗教束缚,去剑桥三一学院从事研究工作。这是富有成果的合作,哈代之将描述了为"我一生中最浪漫的事。"

 

哈代评论拉马努金的公式,有些他最初不能理解,他说"只要看它们一眼就知道只有第一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的,因为如果不是的话,没人能有足够的想象力来发明他们。"哈代在一次采访中说,他自己对数学最伟大的贡献是发现了拉马努金,并把拉马努金的天才比作至少和数学巨人欧拉和雅可比(Carl Jacobi)的相当。

 

在哈代的指导下,拉马努金先后发表了国际一流的论文19篇。1917年拉马努金与哈代合作开创"圆法"推进了哥德巴赫猜想研究,同年被选入伦敦数学会,次年当选为英国皇家学会外籍会员.

 

拉马努金后来患病,1919年返回印度,1920年4月26日在贡伯戈讷姆逝世,他对这个世界最后的礼物是拉马努金θ函数的发现。

 

在数学上,有洞察力和有一个证明是很不相同的。拉马努金的发现异常丰富,他天才地给出了大量的公式,可以再深入研究,开启了新的研究方向。哈代这样评论拉马努金:"

 

他的知识的缺陷和它的深刻一样令人吃惊。这是一个能够发现模方程和定理的人......直到前所未闻的地步,他对连分数的掌握......超出了世界上任何一个数学家,他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项;但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理,对复变函数只有最模糊的概念......

 

当他还在印度时,拉马努金在三本活页纸笔记上记录了很多结果。结果被写下来,但没有推导。第一本笔记有351页,大约16个有某种组织的章和一些无组织的材料。第二本笔记有256页,散布在21章和100个无组织页面中。第三本有33个未组织的页面。他笔记本中的结果激发了大量论文,由后世企图证明他的发现的数学家所写。哈代自己也写了挖掘拉马努金工作中的材料的论文,

 

美国作家罗伯特 卡尼盖尔所著传记《知无涯者:拉马努金传》中说:"拉马努金是个如此伟大的数学家以至于他的名字超越了嫉妒,他是印度在过去一千年中所出的超级伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑,在他死后70多年。他的论文中埋藏的秘密依然在被挖掘出来。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。"

 

中国数学家,武汉大学前校长齐民友先生等,已将《知无涯者:拉马努金传》翻译成中文。(本资料根据维基百科拉马努金介绍编写)

 

本文获作者授权刊发。

制版编辑: 许逸


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